Dalam matematika, teorema dasar aritmetika (dikenal juga sebagai teorema fundamental aritmetika, teorema pemfaktoran tunggal,^[3] teorema faktorisasi tunggal,^[3][4] dan teorema faktorisasi prima) menyatakan bahwa setiap bilangan asli ${\displaystyle n>1}$ memenuhi tepat satu dari dua pernyataan berikut:

1. ${\displaystyle n}$ merupakan bilangan prima.
2. ${\displaystyle n}$ dapat dinyatakan secara tunggal sebagai darab dari bilangan-bilangan prima, dengan urutan perkalian faktor-faktornya diabaikan.^[5][6][7]

Sebagai contoh, $${\displaystyle 1200=2^{4}\cdot 3^{1}\cdot 5^{2}=(2\cdot 2\cdot 2\cdot 2)\cdot 3\cdot (5\cdot 5)=5\cdot 2\cdot 5\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 2=\ldots }$$

Teorema ini menyatakan dua hal dari contoh di atas:

1. bahwa 1200 dapat direpresentasikan sebagai darab dari bilangan-bilangan prima, dan
2. terlepas dari bagaimanapun penyusunannya, pasti terdapat tepat empat bilangan 2, satu bilangan 3, dua bilangan 5, dan tidak ada bilangan prima lain dalam darabnya.

Persyaratan bahwa faktor-faktornya merupakan bilangan prima adalah hal yang diperlukan: faktorisasi dengan menggunakan bilangan komposit mungkin saja tidak tunggal. Sebagai contoh, ${\displaystyle 12=2\cdot 6=3\cdot 4}$.

Dengan menggunakan konvensi standar untuk darab barisan,^{[note 1]} maka isi pernyataan teorema dasar aritmetika ialah setiap bilangan asli dapat dinyatakan secara tunggal sebagai darab dari bilangan-bilangan prima, dengan urutan perkalian tidak diperhatikan.

Teorema ini merupakan salah satu dari alasan utama mengapa 1 tidak dipandang sebagai bilangan prima: jika 1 merupakan bilangan prima, maka faktorisasi prima dari sembarang bilangan asli tidak akan bersifat tunggal. Misalnya, ${\displaystyle 19=19\cdot 1=19\cdot 1\cdot 1=\ldots }$

Teorema ini dapat diperumum menjadi struktur aljabar yang dikenal sebagai daerah faktorisasi tunggal, termasuk daerah ideal utama, daerah Euclid, dan gelanggang polinomial atas suatu lapangan. Akan tetapi, teorema ini tidak berlaku untuk bilangan bulat aljabar.^{[note 2]} Kegagalan dari faktorisasi tunggal ini merupakan salah satu alasan dari sulitnya pembuktian teorema terakhir Fermat. Penggunaan faktorisasi tunggal secara implisit pada gelanggang bilangan bulat aljabar merupakan letak kesalahan dari banyak bukti keliru yang ditulis semasa 358 tahun antara pernyataan Fermat dan bukti Wiles.

Teorema dasar aritmetika dapat diturunkan dari Buku VII, proposisi 30, 31, dan 32, serta Buku IX, proposisi 14 dari Elements karya Euclid.

Jika dua bilangan dikalikan satu sama lain dan menghasilkan suatu bilangan, dan jika suatu bilangan prima mengukur darabnya, maka bilangan prima tersebut juga mengukur salah satu dari kedua bilangan di awal.

(Dalam terminologi modern: jika suatu bilangan prima ${\displaystyle p}$ habis membagi darab ${\displaystyle ab}$, maka ${\displaystyle p}$ habis membagi ${\displaystyle a}$ atau ${\displaystyle p}$ habis membagi ${\displaystyle b}$ atau keduanya.) Proposisi 30 dikenal sebagai lema Euclid, dan menjadi kunci dari pembuktian teorema dasar aritmetika.

Setiap bilangan komposit diukur oleh suatu bilangan prima.

(Dalam terminologi modern: setiap bilangan asli yang lebih dari satu akan habis dibagi oleh suatu bilangan prima.) Proposisi 31 dibuktikan menggunakan teknik pembuktian melalui penurunan takhingga.

Setiap bilangan antara berupa bilangan prima, atau dapat diukur oleh suatu bilangan prima.

Proposisi 32 dapat diturunkan melalui proposisi 31, yang membuktikan bahwa penguraiannya dimungkinkan terjadi.

Jika suatu bilangan merupakan bilangan terkecil yang diukur oleh bilangan-bilangan prima, maka bilangan tersebut tidak akan terukur oleh sembarang bilangan prima lain selain bilangan-bilangan prima yang mengukurnya.

(Dalam terminologi modern: kelipatan persekutuan terkecil dari beberapa bilangan prima bukanlah kelipatan dari sembarang bilangan prima lainnya). Proposisi 14 pada Buku IX dapat diturunkan dari proposisi 30 pada Buku VII, yang membuktikan sebagian bahwa penguraiannya bersifat tunggal – suatu poin yang ditekankan oleh André Weil.^{[note 3]} Dalam proposisi ini, semua pangkatnya bernilai sama dengan satu, sehingga kasus umumnya belum terbukti.

Selagi Euclid mengambil langkah pertama menuju kewujudan dari faktorisasi prima, Kamāl al-Dīn al-Fārisī mengambil langkah terakhir^{[note 4]} dan menyatakan teorema dasar aritmetika untuk pertama kalinya.^{[note 5]}

Artikel 16 dari Disquisitiones Arithmeticae karya Gauss adalah bukti pertama dari bagian ketunggalan pada teorema dasar aritmetika.^[1]

Setiap bilangan asli ${\displaystyle n>1}$ dapat dinyatakan secara tunggal sebagai darab dari perpangkatan bilangan prima $${\displaystyle n=(p_{1})^{e_{1}}\cdot (p_{2})^{e_{2}}\cdot (p_{3})^{e_{3}}\cdot \ldots \cdot (p_{k})^{e_{k}}=\prod _{i\,=\,1}^{k}(p_{i})^{e_{i}}}$$ dengan ${\displaystyle p_{1}<p_{2}<p_{3}<\ldots <p_{k}}$ merupakan bilangan-bilangan prima dan setiap ${\displaystyle e_{i}}$ merupakan bilangan asli nonnegatif. Representasi ini umumnya diperluas menjadi seluruh bilangan asli (termasuk 1) dengan konvensi bahwa nilai dari darab kosong ialah 1 (darab kosong berpadanan dengan nilai ${\displaystyle k=0}$).

Representasi ini disebut representasi kanonik^[8] dari ${\displaystyle n}$, bentuk kanonik^[9] dari ${\displaystyle n}$, atau bentuk standar^[10][11] dari ${\displaystyle n}$. Sebagai contoh,

$${\displaystyle {\begin{aligned}999&=3^{3}\cdot 37\\1000&=2^{3}\cdot 5^{3}\\1001&=7\cdot 11\cdot 13\end{aligned}}}$$

Faktor ${\displaystyle p_{0}=1}$ dapat dimasukkan tanpa mengubah nilai dari ${\displaystyle n}$. Misalnya, ${\displaystyle 1000=2^{3}\cdot 3^{0}\cdot 5^{3}}$. Secara umum, setiap bilangan asli dapat secara tunggal dinyatakan sebagai darab takhingga dari semua bilangan prima positif, yaitu $${\displaystyle n=2^{e_{1}}\cdot 3^{e_{2}}\cdot 5^{e_{3}}\cdot 7^{e_{4}}\cdot \ldots =\prod _{i\,=\,1}^{\infty }(p_{i})^{e_{i}}}$$ dengan banyaknya ${\displaystyle e_{i}}$ yang bernilai positif ialah berhingga, dan sisanya bernilai nol.

Memperbolehkan pangkat negatif akan memberikan bentuk kanonik dari bilangan rasional positif.

Bentuk kanonik dari darab, faktor persekutuan terbesar (FPB), dan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari dua bilangan asli ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ dapat dinyatakan dalam bentuk kanonik dari ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ itu sendiri, yaitu:

$${\displaystyle {\begin{aligned}a\cdot b&=2^{a_{1}+b_{1}}\cdot 3^{a_{2}+b_{2}}\cdot 5^{a_{3}+b_{3}}\cdot 7^{a_{4}+b_{4}}\cdot \ldots \\a\cdot b&=\prod _{i\,=\,1}^{\infty }(p_{i})^{a_{i}+b_{i}}\\\\\operatorname {FPB} \!\left(a,\,b\right)&=2^{\min \left(a_{1},\,b_{1}\right)}\cdot 3^{\min \left(a_{2},\,b_{2}\right)}\cdot 5^{\min \left(a_{3},\,b_{3}\right)}\cdot 7^{\min \left(a_{4},\,b_{4}\right)}\cdot \ldots \\\operatorname {FPB} \!\left(a,\,b\right)&=\prod _{i\,=\,1}^{\infty }(p_{i})^{\min \left(a_{i},\,b_{i}\right)}\\\\\operatorname {KPK} \!\left(a,\,b\right)&=2^{\max \left(a_{1},\,b_{1}\right)}\cdot 3^{\max \left(a_{2},\,b_{2}\right)}\cdot 5^{\max \left(a_{3},\,b_{3}\right)}\cdot 7^{\max \left(a_{4},\,b_{4}\right)}\cdot \ldots \\\operatorname {KPK} \!\left(a,\,b\right)&=\prod _{i\,=\,1}^{\infty }(p_{i})^{\max \left(a_{i},\,b_{i}\right)}\end{aligned}}}$$

Akan tetapi, proses memfaktorkan bilangan bulat—terutama bilangan-bilangan yang besar—jauh lebih sulit dibandingkan menghitung darab, FPB, maupun KPK, sehingga pada penerapannya, rumus-rumus di atas memiliki penggunaan yang cukup terbatas.

Banyak fungsi aritmetika yang didefinisikan menggunakan bentuk kanonik. Lebih spesifiknya, nilai fungsi aditif dan fungsi perkalian dari bilangan asli ${\displaystyle n}$ ditentukan oleh nilai pangkat dari bilangan prima yang muncul dari bentuk kanonik dari ${\displaystyle n}$.

Bukti dari sifat ketunggalan faktorisasi prima menggunakan lema Euclid (Elements VII, proposisi 30): Jika suatu bilangan prima habis membagi darab dari dua bilangan asli, maka bilangan prima tersebut habis membagi salah satu dari kedua bilangan asli tersebut.

Diambil sembarang bilangan asli ${\displaystyle k>1}$. Akan diasumsikan secara induktif bahwa setiap bilangan asli yang nilainya kurang dari ${\displaystyle k}$ antara berupa bilangan prima, atau merupakan darab dari bilangan-bilangan prima. Jika ${\displaystyle k}$ merupakan bilangan prima, maka pernyataan terbukti.

Jika ${\displaystyle k}$ bukan merupakan bilangan prima, maka terdapat bilangan asli ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ sedemikian sehingga ${\displaystyle n=a\cdot b}$, dengan ${\displaystyle 1<a\leq b<k}$. Berdasarkan hipotesis induktif, maka ${\displaystyle a}$ dan ${\displaystyle b}$ dapat berupa bilangan prima, atau dapat dinyatakan sebagai darab dari bilangan-bilangan prima. $${\displaystyle {\begin{aligned}a&=p_{1}\cdot p_{2}\cdot \ldots \cdot p_{n}\\b&=q_{1}\cdot q_{2}\cdot \ldots \cdot q_{N}\end{aligned}}}$$ Akibatnya, diperoleh $${\displaystyle k=a\cdot b=(p_{1}\cdot p_{2}\cdot \ldots \cdot p_{n})\cdot (q_{1}\cdot q_{2}\cdot \ldots \cdot q_{N})}$$ yang menunjukkan bahwa ${\displaystyle k}$ merupakan darab dari bilangan-bilangan prima.

Diambil sembarang ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ beserta dua faktorisasi primanya, yaitu $${\displaystyle k=p_{1}\cdot p_{2}\cdot p_{3}\cdot \ldots \cdot p_{n}=q_{1}\cdot q_{2}\cdot q_{3}\cdot \ldots \cdot q_{N}}$$ dengan ${\displaystyle n\leq N}$ dan setiap ${\displaystyle p_{m}}$ serta ${\displaystyle q_{m}}$ merupakan bilangan prima. Oleh karena ${\displaystyle p_{1}}$ habis membagi ${\displaystyle p_{1}\cdot p_{2}\cdot p_{3}\cdot \ldots \cdot p_{n}}$, maka ${\displaystyle p_{1}}$ habis membagi ${\displaystyle q_{1}\cdot q_{2}\cdot q_{3}\cdot \ldots \cdot q_{N}}$. Berdasarkan lema Euclid, maka terdapat suatu ${\displaystyle j\in \left\{1,\,2,\,3,\,\ldots ,\,N\right\}}$ sedemikian sehingga ${\displaystyle p_{1}}$ habis membagi ${\displaystyle q_{j}}$. Tanpa mengurangi keumuman, diasumsikan bahwa ${\displaystyle p_{1}}$ habis membagi ${\displaystyle q_{1}}$. Oleh karena ${\displaystyle p_{1}}$ dan ${\displaystyle q_{1}}$ merupakan bilangan prima, maka ${\displaystyle p_{1}=q_{1}}$. Akibatnya, diperoleh $${\displaystyle p_{2}\cdot p_{3}\cdot p_{4}\cdot \ldots \cdot p_{n}=q_{2}\cdot q_{3}\cdot q_{4}\cdot \ldots \cdot q_{N}}$$

Dengan proses serupa, perhatikan bahwa ${\displaystyle p_{2}}$ habis membagi ${\displaystyle p_{2}\cdot p_{3}\cdot \ldots \cdot p_{n}}$. Akibatnya, ${\displaystyle p_{2}}$ habis membagi ${\displaystyle q_{2}\cdot q_{3}\cdot \ldots \cdot q_{N}}$. Berdasarkan lema Euclid, maka terdapat suatu ${\displaystyle j\in \left\{2,\,3,\,\ldots ,\,N\right\}}$ sedemikian sehingga ${\displaystyle p_{2}}$ habis membagi ${\displaystyle q_{j}}$. Dengan argumen serupa seperti sebelumnya, diasumsikan bahwa ${\displaystyle p_{2}}$ habis membagi ${\displaystyle q_{2}}$. Oleh karena ${\displaystyle p_{2}}$ dan ${\displaystyle q_{2}}$ merupakan bilangan prima, maka ${\displaystyle p_{2}=q_{2}}$. Akibatnya, didapatkan $${\displaystyle p_{3}\cdot p_{4}\cdot \ldots \cdot p_{n}=q_{3}\cdot q_{4}\cdot \ldots \cdot q_{N}}$$

Jika ${\displaystyle n<N}$, maka proses ini akan berakhir pada persamaan $${\displaystyle 1=p_{n+1}\cdot p_{n+2}\cdot \ldots \cdot p_{N}}$$ yang jelas mustahil terjadi, sebab setiap bilangan prima akan memenuhi pertidaksamaan ${\displaystyle p\geq 2}$, sehingga ruas kanan tidak mungkin sama dengan satu. Akibatnya, ${\displaystyle n=N}$.

Oleh karena ${\displaystyle n=N}$, maka berlaku $${\displaystyle {\begin{aligned}p_{1}&=q_{1}\\p_{2}&=q_{2}\\p_{3}&=q_{3}\\&\vdots \\p_{n}&=q_{N}\end{aligned}}}$$ yang berarti bahwa ${\displaystyle k}$ memiliki faktorisasi prima yang bersifat tunggal.

Teorema dasar aritmetik juga dapat dibuktikan tanpa menggunakan lema Euclid.^[12] Bukti berikut merupakan pembuktian melalui kontradiksi yang terinspirasi dari versi orisinal dari algoritma Euclid.

Andaikan himpunan semua bilangan asli yang faktorisasi primanya tidak tunggal bukan merupakan himpunan kosong, maka berdasarkan prinsip urutan rapi, terdapat suatu bilangan asli terkecil ${\displaystyle k}$ yang memiliki setidaknya dua faktorisasi prima, yaitu $${\displaystyle k=p_{1}\cdot p_{2}\cdot p_{3}\cdot \ldots \cdot p_{n}=q_{1}\cdot q_{2}\cdot q_{3}\cdot \ldots \cdot q_{N}}$$ dengan ${\displaystyle n\leq N}$ dan setiap ${\displaystyle p_{i}}$ serta ${\displaystyle q_{i}}$ merupakan bilangan prima. Hal ini mengakibatkan bahwa ${\displaystyle k}$ (jika ada) merupakan bilangan komposit yang nilainya lebih dari ${\displaystyle 1}$.

Andaikan terdapat suatu ${\displaystyle i\in \left\{1,\,2,\,3,\,\ldots ,\,n\right\}}$ dan ${\displaystyle j\in \left\{1,\,2,\,3,\,\ldots ,\,N\right\}}$ sedemikian sehingga ${\displaystyle p_{i}=q_{j}}$, maka terdapat suatu bilangan asli ${\displaystyle k'={\tfrac {k}{p_{i}}}={\tfrac {k}{q_{j}}}}$ yang nilainya kurang dari ${\displaystyle k}$, tetapi faktorisasi primanya tidak tunggal. Namun, hal ini mustahil terjadi, sebab ${\displaystyle k}$ adalah bilangan asli terkecil yang memiliki sifat tersebut. Akibatnya, setiap ${\displaystyle p_{i}}$ harus berbeda dengan setiap ${\displaystyle q_{j}}$. Tanpa mengurangi keumuman, diasumsikan bahwa ${\displaystyle p_{1}<q_{1}}$ dengan menukar dua faktorisasinya, jika diperlukan.

Didefinisikan $${\displaystyle {\begin{aligned}P&=p_{2}\cdot p_{3}\cdot \ldots \cdot p_{n}\\Q&=q_{2}\cdot q_{3}\cdot \ldots \cdot q_{N}\end{aligned}}}$$ sehingga diperoleh ${\displaystyle k=p_{1}\cdot P=q_{1}\cdot Q}$. Oleh karena ${\displaystyle p_{1}<q_{1}}$, maka ${\displaystyle Q<P}$.^{[note 6]} Tinjau bilangan ${\displaystyle p_{1}\cdot (P-Q)}$, yaitu

$${\displaystyle {\begin{aligned}p_{1}\cdot (P-Q)&=(p_{1}\cdot P)-p_{1}\cdot Q\\&=k-p_{1}\cdot Q\\&=(q_{1}\cdot Q)-p_{1}\cdot Q\\&=(q_{1}-p_{1})\cdot Q\end{aligned}}}$$

Jelas bahwa ${\displaystyle k-p_{1}\cdot Q<k}$. Oleh karena ${\displaystyle k}$ adalah bilangan asli terkecil yang memiliki faktorisasi prima yang tidak tunggal, maka setiap bilangan asli yang kurang dari ${\displaystyle k}$ memiliki faktorisasi prima yang tunggal. Berdasarkan persamaan $${\displaystyle p_{1}\cdot (P-Q)=(q_{1}-p_{1})\cdot Q}$$ maka ${\displaystyle p_{1}}$ harus muncul sebagai faktor dari ${\displaystyle q_{1}-p_{1}}$ atau ${\displaystyle Q}$.

1. andaikan ${\displaystyle p_{1}}$ merupakan faktor dari ${\displaystyle q_{1}-p_{1}}$, maka ${\displaystyle p_{1}}$ juga merupakan faktor dari ${\displaystyle q_{1}}$. Namun, hal ini mustahil terjadi, sebab diketahui bahwa ${\displaystyle p_{1}}$ dan ${\displaystyle q_{1}}$ merupakan bilangan prima yang berbeda.
2. jelas bahwa ${\displaystyle Q<k}$, sehingga ${\displaystyle Q}$ memiliki faktorisasi prima yang tunggal. Oleh karena ${\displaystyle p_{1}}$ haruslah berbeda dengan setiap ${\displaystyle q_{m}}$, maka ${\displaystyle p_{1}}$ mustahil menjadi faktor dari ${\displaystyle Q}$.

Berdasarkan kedua kasus di atas, maka pernyataan "${\displaystyle p_{1}}$ harus muncul sebagai faktor dari ${\displaystyle q_{1}-p_{1}}$ atau ${\displaystyle Q}$" bersifat kontradiktif, sehingga pernyataan "himpunan semua bilangan asli yang faktorisasi primanya tidak tunggal bukan merupakan himpunan kosong" bernilai salah. Dengan kata lain, himpunan semua bilangan asli yang faktorisasi primanya tidak tunggal merupakan himpunan kosong, yang berarti bahwa setiap bilangan asli memiliki faktorisasi prima yang tunggal.

Bagian ini membutuhkan rujukan tambahan agar kualitasnya dapat dipastikan. Mohon bantu kami mengembangkan artikel ini dengan cara menambahkan rujukan ke sumber tepercaya. Pernyataan tak bersumber bisa saja dipertentangkan dan dihapus. Cari sumber: "Teorema dasar aritmetika" – berita · surat kabar · buku · cendekiawan · JSTOR

Perumuman pertama dari teorema dasar aritmetika ditemukan dalam monografi kedua Gauss (1832) dalam timbal balik kuartik. Paper ini memperkenalkan apa yang sekarang disebut sebagai gelanggang bilangan bulat Gauss, yaitu himpunan seluruh bilangan kompleks ${\displaystyle a+bi}$, dengan ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b\in \mathbb {Z} }$. Gelanggang ini ditulis sebagai ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$. Gelanggang ini memiliki empat unit, yaitu ${\displaystyle \pm 1}$ dan ${\displaystyle \pm i}$. Gauss berhasil menunjukkan bahwa setiap bilangan tak nol dan tak unit berada pada tepat satu kategori, yaitu bilangan prima dan bilangan komposit. Lebih lanjut, Gauss juga menunjukkan bahwa setiap bilangan komposit pada ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ juga dapat secara tunggal dinyatakan sebagai darab dari bilangan-bilangan prima, dengan mengabaikan urutan perkalian serta mengabaikan perkalian oleh unit.^[13]

Serupa seperti Gauss, Eisenstein memperkenalkan gelanggang ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$ pada tahun 1844 ketika mempelajari timbal balik kubik, dengan ${\displaystyle \omega =-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i}$, yaitu akar satuan primitif ke-3. Himpunan ini dikenal sebagai gelanggang bilangan bulat Eisenstein, dan Eisenstein membuktikan bahwa gelanggang ini memiliki enam unit, yaitu ${\displaystyle \pm 1}$, ${\displaystyle \pm \omega }$, dan ${\displaystyle \pm \omega ^{2}}$, serta setiap bilangan Eisenstein memiliki faktorisasi yang tunggal.

Namun, sifat faktorisasi tunggal tidak selalu berlaku. Misalnya dalam gelanggang ${\displaystyle \mathbb {Z} [i{\sqrt {5}}]}$, perhatikan bahwa^[14]

$${\displaystyle 6=2\cdot 3=\left(1+i{\sqrt {5}}\right)\left(1-i{\sqrt {5}}\right)}$$

Contoh-contoh seperti ini membuat gagasan "bilangan prima" akhirnya dimodifikasi. Dapat dibuktikan bahwa jika setiap faktor di atas dapat dinyatakan sebagai darab dari dua bilangan pada ${\displaystyle \mathbb {Z} [i{\sqrt {5}}]}$ (misalnya ${\displaystyle 3=a\cdot b}$), maka salah satu dari kedua bilangan tersebut merupakan unit pada ${\displaystyle \mathbb {Z} [i{\sqrt {5}}]}$. Ini adalah definisi tradisional dari "bilangan prima". Selain itu, dapat dibuktikan bahwa lema Euclid tidak berlaku pada faktorisasi di atas. Misalnya, walaupun 2 habis membagi ${\displaystyle \left(1+i{\sqrt {5}}\right)\left(1-i{\sqrt {5}}\right)}$, tetapi 2 tidak habis membagi ${\displaystyle 1+i{\sqrt {5}}}$ maupun konjugatnya. Dalam teori bilangan aljabar, 2 disebut sebagai elemen tak tereduksi pada ${\displaystyle \mathbb {Z} [i{\sqrt {5}}]}$ (sebab 2 hanya habis dibagi oleh unit pada ${\displaystyle \mathbb {Z} [i{\sqrt {5}}]}$ atau oleh dirinya sendiri), tetapi bukan merupakan elemen prima pada ${\displaystyle \mathbb {Z} [i{\sqrt {5}}]}$ (jika 2 habis membagi suatu darab, maka 2 juga harus membagi salah satu faktor pada darabnya). Himpunan ${\displaystyle \mathbb {Z} [i{\sqrt {5}}]}$ perlu disinggung, sebab 2 merupakan elemen prima sekaligus elemen tereduksi pada ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Dengan definisi ini, maka dapat dibuktikan bahwa setiap elemen prima pada daerah integral merupakan elemen tak tereduksi. Lema klasik dari Euclid dapat dinyatakan ulang sebagai "dalam gelanggang bilangan bulat ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, setiap elemen tak tereduksi merupakan elemen prima". Hal ini juga berlaku pada ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ dan ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$, tetapi tidak pada ${\displaystyle \mathbb {Z} [i{\sqrt {5}}]}$.

Gelanggang yang hasil faktorisasinya berupa elemen-elemen tak tereduksi yang pada dasarnya tunggal disebut sebagai daerah faktorisasi tunggal. Contoh-contoh penting dari daerah faktorisasi tunggal diantaranya ialah gelanggang polinomial atas bilangan bulat atau atas suatu lapangan, daerah Euclid, dan daerah ideal utama.

Pada tahun 1843, Kummer memperkenalkan konsep bilangan ideal, yang kemudian dikembangkan lebih jauh oleh Dedekind (1876) menjadi teori modern dari ideal, yaitu himpunan bagian spesial dari gelanggang. Operasi perkalian didefinisikan untuk ideal, dan gelanggang yang memiliki faktorisasi tunggal disebut sebagai daerah Dedekind.

• Faktorisasi bilangan bulat
• Daftar teorema dengan sebutan dasar

Disquisitiones Arithmeticae telah diterjemahkan dari bahasa Latin Ciceronian Gauss ke dalam bahasa Inggris dan Jerman. Edisi Jerman mencakup semua paper teori bilangan miliknya: semua bukti dari timbal balik kuadratik, penentuan tanda dari jumlah Gauss, penyelidikan timbal balik bikuadratik, serta catatan yang tidak diterbitkan.

• Gauss, Carl Friedrich (1986). Disquisitiones Arithemeticae (dalam bahasa Inggris). Diterjemahkan oleh Clarke, Arthur A. (Edisi kedua, telah diperbaiki). New York: Springer. ISBN 0-387-96254-9.
• Gauss, Carl Friedrich (1965). Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithemeticae & paper lainnya dalam teori bilangan) (dalam bahasa Jerman). Diterjemahkan oleh Maser, H. (Edisi ke-2). New York: Chelsea. ISBN 0-8284-0191-8.

Dua monografi yang Gauss publikasikan mengenai timbal balik kuartik memiliki bagian yang telah diberi nomor secara berurutan: monografi pertama memuat §§ 1–23 dan yang kedua §§ 24–76. Catatan-catatan kaki yang mereferensikan hal ini memiliki bentuk umum "Gauss, BQ, § n", sedangkan catatan-catatan kaki yang mereferensikan Disquisitiones Arithmeticae memiliki bentuk umum "Gauss, DA, Art. n".

• Gauss, Carl Friedrich (1828), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio prima, Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 6
• Gauss, Carl Friedrich (1832), Theoria residuorum biquadraticorum, Commentatio secunda, Göttingen: Comment. Soc. regiae sci, Göttingen 7

Kedua monografi tersebut merupakan bagian dari Werke karya Gauss, Vol II, hlm. 65–92 dan hlm. 93–148; terjemahan Jerman berada pada hlm. 511–533 dan hlm. 534–586 dari edisi Jerman dari Disquisitiones.

• Euclid (1956), The thirteen books of the Elements [Tiga belas buku dari Elemen] (dalam bahasa Inggris), vol. 2 (Buku III–IX), diterjemahkan oleh Heath, Thomas Little (Edisi ke-2), New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-60089-5 ;
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. (2008) [1938], An Introduction to the Theory of Numbers, Revised by D. R. Heath-Brown and J. H. Silverman. Foreword by Andrew Wiles. (Edisi 6th), Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-921986-5, MR 2445243, Zbl 1159.11001
• Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory [Pengantar Elementer dari Teori Bilangan] (dalam bahasa Inggris) (Edisi ke-2), Lexington: D. C. Heath and Company, LCCN 77171950
• Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), Elements of Number Theory [Elemen Teori Bilangan] (dalam bahasa Inggris), Englewood Cliffs: Prentice Hall, LCCN 71081766
• Riesel, Hans (1994), Prime Numbers and Computer Methods for Factorization [Bilangan Prima dan Metode Komputer untuk Pemfaktoran] (dalam bahasa Inggris) (Edisi ke-2), Boston: Birkhäuser, ISBN 978-0-8176-3743-9
• Weil, André (2007) [1984], Number Theory: An Approach through History from Hammurapi to Legendre, Modern Birkhäuser Classics (dalam bahasa Inggris), Boston, MA: Birkhäuser, ISBN 978-0-817-64565-6

• (Inggris) Mengapa teorema dasar aritmetika tidak se-sepele itu?
• (Inggris) FPB dan Teorema Dasar Aritmetika di Cut-the-Knot.
• (Inggris) (Inggris) Bukti teorema dasar aritmetika di PlanetMath.
• (Inggris) Blog Teorema Terakhir Fermat: Faktorisasi Tunggal, sebuah blog yang meliput sejarah dari Teorema Terakhir Fermat, mulai dari Diophantus hingga pembuktian oleh Andrew Wiles.
• Zenil, Hector (2007). "Fundamental Theorem of Arithmetic" [Teorema Dasar Aritmetika]. Wolfram Demonstrations Project (dalam bahasa Inggris).
• Grime, James (3 Februari 2012), "1 and Prime Numbers" [1 dan Bilangan Prima], Numberphile (dalam bahasa Inggris), Brady Haran, diarsipkan dari versi aslinya tanggal 2021-12-11
• (Inggris) Teorema Dasar Aritmetika