Dalam matematika, deret harmonik adalah deret takhingga divergen

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots .}$

Namanya diturunkan dari konsep nada tambahan, atau harmonik dalam musikː panjang gelombangnya dari nada tambahan dari sebuah dawai yang bergetar adalah ${\textstyle {\frac {1}{2}}}$, ${\textstyle {\frac {1}{3}}}$, ${\textstyle {\frac {1}{4}}}$, dst., dari panjang gelombang dasar dawai. Setiap suku dari deretnya setelah pertamanya adalah purata harmonik dari suku-suku tetangga, frasa purata harmonik juga diturunkan dari musik.

Nama dari deret harmonik berasal dari konsep overtone [en] atau harmonik dalam dunia musik. Konsep tersebut menjelaskan, bahwa dalam frekuensi dasar seutas dawai, panjang gelombang overtone bergetar dalam barisan ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$, ${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$, ${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$, dan seterusnya.^[1][2] Setiap suku dari deret harmonik setelah suku pertama merupakan rerata harmonik dari suku-suku di dekatnya. Dengan begitu, suku-suku tersebut membentuk suatu barisan harmonik. Kedua istilah tersebut, rerataan harmonik dan barisan harmonik sama-sama berasal dari dunia musik juga.^[2] Selain musik, barisan harmonik juga banyak disukai kalangan para arsitek. Kemunculannya mencolok pada periode Barok, ketika para arsitek menggunakannya untuk membangun proporsi denah lantai dan elevasi, serta mendirikan hubungan yang harmonik mengenai rinci desain pembangunan gereja dan istana baik segi interior maupun eksterior.^[3]

Kedivergenan deret harmonik pertama kali dibuktikan oleh Nicole Oresme pada tahun 1350.^[2][4] Karya Oresme, bersamaan dengan karya Richard Swineshead mengenai deret yang lain di tahun yang sama, menandakan awal kehadiran deret tak terhingga lainnya setelah deret geometri dalam matematika.^[5] Sayangnya, hasil pencapaian tersebut malah terlupakan.^[6] Beberapa pembuktian lain diterbitkan pada abad ke-17 oleh Pietro Mengoli^[2][7] dan Jacob Bernoulli.^[8][9][10] Bernoulli menyematkan saudaranya, Johann Bernoulli, karena berkatnya dalam mencari pembuktiannya,^[10] dan namanya dicantumkan ke dalam karya-karya yang terkumpul milik Johann Bernoulli.^[11]

Jumlah parsial dari deret harmonik dinamakan bilangan harmonik dan diberikan lambang ${\displaystyle H_{n}}$ oleh Donald Knuth pada tahun 1968.^[12]

Deret harmonik adalah deret tak terhingga $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots }$$dengan setiap suku-sukunya merupakan pecahan satuan bernilai positif. Deret harmonik itu divergen, yang berarti semakin banyak suku pada deret dijumlahkan, nilainya semakin membesar dan melampaui sembarang batas terhingga. Deret harmonik, selaku merupakan deret divergen, semestinya dipandang sebagai penjumlahan formal, maksudnya sebagai ekspresi matematika yang bersifat abstrak yang menggabungkan pecahan satuan daripada sebagai sesuatu yang dapat dianggap sebagai suatu nilai numerik. Banyak pembuktian lain mengenai kedivergenannya, yang disurvei oleh S. J. Kifowit dan T. A. Stamps dalam makalahnya pada tahun 2006.^[13] Dua pembuktian yang sudah lazim dijumpai^[1][13] diberikan sebagai berikut.

Salah satu cara membuktikan kedivergenannya adalah dengan membandingkan deret harmonik dengan deret divergen lain. Deret lain yang dimaksud adalah deret harmonik tetapi setiap penyebutnya digantikan dengan perpangkatan dari dua terbesar berikutnya: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{8}1&+{\frac {1}{2}}&&+{\frac {1}{3}}&&+{\frac {1}{4}}&&+{\frac {1}{5}}&&+{\frac {1}{6}}&&+{\frac {1}{7}}&&+{\frac {1}{8}}&&+{\frac {1}{9}}&&+\cdots \\[5pt]{}\geq 1&+{\frac {1}{2}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {4} }}}&&+{\frac {1}{4}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {8} }}}&&+{\frac {1}{8}}&&+{\frac {1}{\color {red}{\mathbf {16} }}}&&+\cdots \\[5pt]\end{alignedat}}}$$Mengumpulkan suku-suku yang sama memperlihatkan bahwa deret kedua divergen (karena setiap pengumpulan deret konvergen tetaplah konvergen): $${\displaystyle {\begin{aligned}&1+\left({\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right)+\left({\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right)+\left({\frac {1}{16}}+\cdots +{\frac {1}{16}}\right)+\cdots \\[5pt]{}={}&1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+\cdots .\end{aligned}}}$$Dengan membandingkan masing-masing suku di antara kedua deret, setiap suku dari deret harmonik lebih besar atau sama dengan suku-suku dari deret kedua (semua suku sama-sama positif). Karena deret kedua divergen, maka berdasarkan uji perbandingan deret harmonik juga divergen. Argumen yang sama membuktikan lebih kuat bahwa, untuk setiap bilangan bulat positif ${\displaystyle k}$, $${\displaystyle \sum _{n=1}^{2^{k}}{\frac {1}{n}}\geq 1+{\frac {k}{2}}}$$Pembuktian asli ini berasal dari Nicole Oresme sekitar tahun 1350.^[13] Uji kondensasi Cauchy adalah generalisasi dari pernyataan tersebut.^[14]

Pembuktian lainnya adalah bahwa deret harmonik terbukti divergen dengan membandingkan penjumlahnnya dengan integral tak wajar. Supaya lebih jelas, perhatikanlah susunan persegi panjang pada gambar berikut. Setiap persegii panjang punya lebar 1 satuan dan tinggi ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$ satuan. Jadi, jika deret harmonik konvergen, maka luas total persegi panjang secara keseluruhan akan sama dengan jumlah dari deret harmonik. Kurva ${\displaystyle y={\tfrac {1}{x}}}$ pada grafik menetapkan batas atas pada seluruh persegi panjang. Jadi, luas di bawah kurva tersebut, dengan range ${\displaystyle x}$ dari satu hingga tak terhingga yang diliputi oleh banyaknya persegi panjang, akan lebih kecil daripada luas dari seluruh persegi panjang digabungkan. Akan tetapi, luas di bawah kurva malah memberikan bentuk integral tak wajar yang hasilnya divergen, $${\displaystyle \int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\,dx=\infty .}$$Karena integral tersebut tidak konvergen, penjumlahannya juga tidak konvergen.^[13]

Pada gambar tadi, setiap persegi panjang digeser ke kiri sebesar 1 satuan akan menghasilkan barisan persegi panjang, yang batasnya berada di bawah kurva dan bukan atas. Ini menunjukkan bahwa jumlah parsial dari deret harmonik berbeda dari integral yang dibatasi di atas dan di bawah dengan luas satuan dari persegi panjang pertama: $${\displaystyle \int _{1}^{N+1}{\frac {1}{x}}\,dx<\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{i}}<\int _{1}^{N}{\frac {1}{x}}\,dx+1.}$$Bila argumen ini diperumum, sembarang jumlah nilai-nilai tak terhingga dari suatu fungsi bernilai positif menurun monoton dari ${\displaystyle n}$ (seperti deret harmonik) memiliki jumlah parsial yang berada di dalam jarak terbatas dari nilai-nilai integral yang sama. Oleh karena demikian, penjumlahannya konvergen jika dan hanya jika integral dengan range yang sama dari fungsi yang sama konvergen. Ketika Metode tersebut, yakni ketika kesamaan tadi digunakan untuk memeriksa kekonvergenan suatu penjumlahan dengan mengantikannya dengan integral yang lebih mudah dihitung, dinamakan uji integral tentang kekonvergenan.^[15]

Tigapuluh bilangan harmonik pertama

n	Jumlah parsial dari deret harmonik, Hn
	diekspresikan sebagai sebuah pecahan		desimal	ukuran relatif
1	1		~1	1
2	3	/2	~1,5	1.5
3	11	/6	~1,83333	1.83333
4	25	/12	~2,08333	2.08333
5	137	/60	~2,28333	2.28333
6	49	/20	~2,45	2.45
7	363	/140	~2,59286	2.59286
8	761	/280	~2,71786	2.71786
9	7129	/2520	~2,82897	2.82897
10	7381	/2520	~2,92897	2.92897
11	83.711	/27.720	~3,01988	3.01988
12	86.021	/27.720	~3,10321	3.10321
13	1.145.993	/360.360	~3,18013	3.18013
14	1.171.733	/360.360	~3,25156	3.25156
15	1.195.757	/360.360	~3,31823	3.31823
16	2.436.559	/720.720	~3,38073	3.38073
17	42.142.223	/12.252.240	~3,43955	3.43955
18	14.274.301	/4.084.080	~3,49511	3.49511
19	275.295.799	/77.597.520	~3,54774	3.54774
20	55.835.135	/15.519.504	~3,59774	3.59774
21	18.858.053	/5.173.168	~3,64536	3.64536
22	19.093.197	/5.173.168	~3,69081	3.69081
23	444.316.699	/118.982.864	~3,73429	3.73429
24	1.347.822.955	/356.948.592	~3,77596	3.77596
25	34.052.522.467	/8.923.714.800	~3,81596	3.81596
26	34.395.742.267	/8.923.714.800	~3,85442	3.85442
27	312.536.252.003	/80.313.433.200	~3,89146	3.89146
28	315.404.588.903	/80.313.433.200	~3,92717	3.92717
29	9.227.046.511.387	/2.329.089.562.800	~3,96165	3.96165
30	9.304.682.830.147	/2.329.089.562.800	~3,99499	3.99499

Dengan menambahkan ${\displaystyle n}$ suku pertama deret harmonik, hasilnya merupakan suatu jumlah parsial. Jumlah parsial itu dinamakan bilangan harmonik, dilambangkan dengan ${\displaystyle H_{n}}$:^[12] $${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.}$$

Berdasarkan hasil uji integral, bilangan harmonik memiliki pertumbuhan yang sangat lambat seperti pertumbuhan logaritmik.^[15] Lebih jelas lagi, menurut rumus Euler–Maclaurin, $${\displaystyle H_{n}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\varepsilon _{n}}$$dengan ${\displaystyle \gamma \approx 0.5772}$ adalah konstanta Euler–Mascheroni dan ${\displaystyle 0\leq \varepsilon _{n}\leq 1/(8n^{2})}$ yang mendekati 0 saat ${\displaystyle n}$ menuju tak terhingga.^[16]

Tidak ada bilangan harmonik yang merupakan bilangan bulat, kecuali ${\displaystyle H_{1}=1}$.^[17][18] Salah satu cara membuktikan bahwa ${\displaystyle H_{n}}$ bukanlah bilangan bulat adalah dengan memandang perpangkatan dua ${\displaystyle 2^{k}}$ yang berkisar dari 1 hingga ke ${\displaystyle n}$. Jika ${\displaystyle M}$ adalah kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan dari 1 hingga ke ${\displaystyle n}$, maka ${\displaystyle H_{k}}$ dapat ditulis ulang sebagai penjumlahan pecahan yang memiliki penyebut yang sama $${\displaystyle H_{n}=\sum _{i=1}^{n}{\tfrac {M/i}{M}}.}$$Pada pecahan tersebut, hanya salah satu dari pembilangnya, ${\displaystyle M/2^{k}}$, adalah ganjil dan sisanya genap, dan ketika ${\displaystyle n>1}$, ${\displaystyle M}$ sendiri genap. Oleh karena itu, hasilnya merupakan pecahan dengan pembilang ganjil dan penyebut genap, sehingga mengakibatkan bilangan harmonik tersebut bukanlah suatu bilangan bulat.^[17] Lebih umumnya lagi, sembarang barisan bilangan berturut-turut memiliki anggota tunggal yang dapat dibagi oleh perpangkatan yang lebih besar daripada semua anggota barisan lainnya. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa tidak ada dua bilangan harmonik yang selisihnya menghasilkan suatu bilangan bulat.^[18]

Adapun pembuktian lain tentang bilangan harmonik bukanlah bilangan bulat. Pembuktian tersebut mengamati bahwa penyebut dari ${\displaystyle H_{n}}$ harus dapat dibagi oleh semua bilangan prima yang lebih besar daripada ${\displaystyle n/2}$ dan lebih kecil atau sama dengan ${\displaystyle n}$, dan menggunakan postulat Bertrand untuk membuktikan bahwa himpunan bilangan prima tersebut tidaklah kosong. Argumen yang sama menyiratkan lebih kuat lagi, bahwa, dengan mengecualikan ${\displaystyle H_{1}=1}$, ${\displaystyle H_{2}=1.5}$, dan ${\displaystyle H_{6}=2.45}$, tidak ada bilangan harmonik yang memiliki representasi desimal yang berhenti.^[17] Terdapat suatu konjektur bahwa setiap bilangan prima membagi pembilang dari hanya suatu subhimpunan bilangan harmonik yang terhingga. Hingga saat ini, masih belum terbukti.^[19]

Fungsi digamma didefinisikan sebagai turunan logaritmik dari fungsi gamma $${\displaystyle \psi (x)={\frac {d}{dx}}\ln {\big (}\Gamma (x){\big )}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}.}$$Sama halnya fungsi gamma memberikan interpolasi faktorial yang kontinu, fungsi digamma memberikan interpolasi bilangan harmonik yang kontinu, dalam artian, ${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma }$.^[20] Persamaan ini dapat digunakan untuk memperluas definisi hingga ke bilangan harmonik dengan indeks berupa bilangan rasional.^[21]

Deret

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots }$

dikenal sebagai deret harmonik bolak-balik. Deret ini konvergen oleh uji deret bolak-balik. Khususnya, jumlahnya sama dengan logaritma natural 2ː

${\displaystyle 1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots =\ln 2.}$

Deret harmonik bolak-balik, sementara konvergen bersyarat, tidak sepenuhnya konvergen: jika asuku-suku dalam deret diatur ulang secara sistematis, secara umum jumlahnya menjadi berbeda dan , bergantung pada penyusunan kembali, bahkan mungkin takhingga.

Rumus deret harmonik bolak-balik adalah sebuah kasus spesial dari deret Mercator, deret Taylor untuk logaritma natural.

Sebuah deret berkaitan bisa diturunkan dari deret Taylor untuk arctangenː

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots ={\frac {\pi }{4}}.}$

Iini dikenal sebagai deret Leibniz.

Deret harmonik umum adalah dari bentuk

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{an+b}},}$

di mana ${\displaystyle a\neq 0}$ dan ${\displaystyle b}$ adalah bilangna real, dan ${\displaystyle {\frac {b}{a}}}$ bukan nol atau sebuah bilangan bulat negatif.

Dengan uji perbandingan limit dengan deret harmonik, semua deret harmonik umum juga divergen.

Sebuah generalisasi dari deret harmonik adalah deret-p (atau deret hiperharmonik), didefinisikan sebagai

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}}$

untuk setiap bilangan real ${\displaystyle p}$. Ketika ${\displaystyle p=1}$, deret-p adalah deret harmonik, yang divergen. Baik itu uji integral atau uji kondensasi Cauchy menunjukkan bahwa deret-p konvergen untuk semua ${\displaystyle p>1}$ (dalam hal ini disebut deret lebih-harmonik) dan divergen untuk semua ${\displaystyle p\leq 1}$. Jika ${\displaystyle p>1}$ maka jumlah dari deret-p adalah ${\displaystyle \zeta (p)}$, yaitu fungsi zeta Riemann dievaluasi sebagai ${\displaystyle p}$

Masalah mencari jumlah untuk ${\displaystyle p=2}$ disebut masalah Basel; Leonhard Euler menunjukkan ini bernilai ${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}}$. Nilai dari jumlah untuk ${\displaystyle p=3}$ disebut konstanta Apéry, karena Roger Apéry membuktikan bahwa itu adalah sebuah bilangan irasional.

Berkaitan dengan deret-p adalah deret-ln, didefinisikan sebagai

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n(\ln n)^{p}}}}$

untuk setiap bilangan real positif ${\displaystyle p}$. Ini bisa ditunjukkan oleh uji integral untuk divergen untuk ${\displaystyle p\leq 1}$ tetapi onvergen untuk semua ${\displaystyle p>1}$.

Untuk setiap cembung, fungsi bernilai real ${\displaystyle \varphi }$ seperti

${\displaystyle \limsup _{u\to 0^{+}}{\frac {\varphi \left({\frac {u}{2}}\right)}{\varphi (u)}}<{\frac {1}{2}},}$

deret

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\varphi \left({\frac {1}{n}}\right)}$

konvergen.^{[butuh rujukan]}

Deret harmonik acak

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {s_{n}}{n}},}$

di mana ${\displaystyle s_{n}}$ adalah independen, variabel acak terdistribusi identik yang mengambil nilai ${\displaystyle +1}$ dan ${\displaystyle -1}$ dengan propabilitas sama dengan ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$, dikenal sebagai sebuah contoh dalam teori probabilitas dengan probabilitas 1. Fakta kekonvergenan ini adalah konsekuensi mudah dari teorema tiga deret Kolmogorov atau dari pertidaksamaan maksimal Kolmogorov yang terkait erat. Borin Schmuland dari Universitas Alberta lebih lanjut^[22] memeriksa sifat-sifat dari deret harmonik acak, dan menunjukkan bahwa deret konvergen adalah sebuah variabel acak dengan beberapa sifat-sifat yang menarik. Khususnya, fungsi kepekatan probabilitas dari variabel acak ini dievalusi pada ${\displaystyle +2}$ atau pada ${\displaystyle -2}$ mengambil nilai ${\displaystyle 0.124\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 999\ 764\dots }$, berbeda dari ${\displaystyle {\frac {1}{8}}}$ kurang dari ${\displaystyle 10^{-42}}$. Makalah Schmuland menjelaskan mengapa probabilitas ini sangat dekat, tetapi tidak persis, ${\displaystyle {\frac {1}{8}}}$. Nilai pasti dari probabilias ini diberikan oleh integral produk kosinus takhingga ${\displaystyle C_{2}}$^[23] dibagi oleh ${\displaystyle \pi }$.

Deret harmonik habis di mana semua dari suku-suku yang digit 9 muncul di mana saja dalampenyebut dihapus dapat ditampilkan untuk konvergen ke nilai ${\displaystyle 22.92067\ 66192\ 64150\ 34816\dots }$..^[24] Faktanya, ketika semua suku berisi setiap deretan bilangan tertentu (dalam setiap basis) dihilangkan, deretnya konvergen.^[25]

Deret harmonik bisa berlawanan dengan intuisi siswa yang pertama kali menjumpainya, itu adalah sebuah deret divergen meskipun limit dari suku ke-${\displaystyle n}$ saat ${\displaystyle n}$ menuju ke takhingga adalah nol. Kedivergenan dari deret harmonik juga merupakan sumber dari beberapa paradoks yang jelas. Salah satu dari contoh-contoh ini adalah "cacing di gelang karet".^[26] Andaikan bahwa sebuah cacing merangkak di sekitar karet gelang satu meter dengan elastis takhingga pada saat yang sama saat karet gelang direngangkan terdistribusi secara merata. Jika cacing berjalan 1 cm per meint dan karetnya meregang 1 meter per menit, akankah cacing mencapai akhir dari gelang karet? Jawabannya. secara berlawanan, "ya", untuk setelah ${\displaystyle n}$ menit, rasionya dari jarak bepergian oleh cacing dengan panjang totoal dari gelang karet adalah

${\displaystyle {\frac {1}{100}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.}$

(Faktanya rasio sebenarnya sedikit kurang dari penjumlahan ini karena gelang memanjang terus-menerus.)

Karena deeretnya menjadi besar secara sebarang saat ${\displaystyle n}$ menjadi besar, akhirnya rasio ini harus melebihi 1, yang menyiratkan bahwa cacing mencapai akhir dari gelang karet. Namun, nilai ${\displaystyle n}$ di mana ini terjadi harus sangat besar; sekitar ${\displaystyle e^{100}}$, sebuah bilangan melebihi ${\displaystyle 10^{43}}$ menit (${\displaystyle 10^{37}}$ tahun). Meskipun deret harmonik divergen, itu melakukannya dengan sangat lambat.

Masalah lainnya melibatkan deret harmonik adalah masalah jip, yang (dalam satu bentuk) menanyakan berapa total bahan bakar yang dibutuhkan untuk sebuah jip dengan daya dukung bahan bakar yang terbatas untuk menyeberangi gurun, kemungkinan menyebabkan penurunan bahan bakar di sepanjang rute. Jarak yang bisa dilintasi dengan jumlah bahan bakar berkaitan dengan jumlah parsial dari deret harmonik, yang tumbuh secara logaritmik. Dan juga bahan bakar dibutuhkan meningkat secara eksponensial dengan jarak yang diinginkan.

Contoh lain adalah masalah penumpukan balok, diberikan sebuah kumpulan domino yang identik, ini jelas mungkin untuk menumpukkan mereka pada tepi dari sebuah meja sehingga mereka menggantung di tepi dari meja tanpa jatuh. Hasil yang berlawanan dengan intuisi adalah bahwa salah satu bisa menumpukkan mereka sedemikian rupa untuk membuat bergantungan menjadi besar, asalkan ada domnio yang cukup.^[26][27]

Sebuah contoh yang lebih sederhana, di samping itu, adalah perenang yang tetap menambahkan lebih banyak kecepatan ketika menyentuh tembok dari kolam. Perenang mulai melintasi sebuah kolam 10 meter pada sebuah kecepatan 2 m.s, dan dengan setiap lintasan, 2 m/s lainnya ditambahkan ke kecepatan. Dalam teori, kecepatan perenang adalah tak terbatas, tetapi jumlah lintasan yang dibutuhkan untuk mencapai kecepatan itu menjadi sangat besar; contohnya, untuk mencapai kecepatan cahaya (abaikan relativitas khusus), perenang membutuhkan untuk melintasi kolam 150 juta kali. Berbeda dengan jumlah besar ini, waktu yang dibutuhkan untuk mencapai sebuah keceptan yang diberikan tergantung pada penjumlahan dari deretnya pada setiap diberikan jumlah lintasan kolam (berulang)ː

${\displaystyle {\frac {10}{2}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.}$

Menghitung jumlah (secara berulang) menunjukkan bahwa untuk mencapai kecepatan cahaya, waktu yang dibutuhkan hanya 97 detik. Dengan melanjtukan melampaui titik ini (melebihi kecepatan cahaya, lagi abaikan relativitas khusus), waktu yang diambil untuk melintasi kolam pada kenyataannya akan mendekati nol saat jumlah berulang menjadi sangat besar, da meskipun waktu yang dibutuhkan untuk melintasi kolam muncul untuk cenderung ke nol (pada sebuah bilangan takhingga berulang), jumlah berulang (waktu yang diberikan untuk total lintasan kolam) akan tetap divergen pada sebuah divergen dengan kecepatan yang sangat lambat.

• Barisan harmonik
• Daftar jumlah timbal balik
• Fungsi eta Dirichlet

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Harmonic series", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
• "The Harmonic Series Diverges Again and Again" (PDF). The AMATYC Review. 27: 31–43. 2006. Diarsipkan dari asli (PDF) tanggal 2013-05-15. Diakses tanggal 2020-11-25.
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Harmonic Series". MathWorld.
• (Inggris) Weisstein, Eric W. "Book Stacking Problem". MathWorld.
• Hudelson, Matt (1 October 2010). "Proof Without Words: The Alternating Harmonic Series Sums to ln 2" (PDF). Mathematics Magazine. 83 (4): 294. doi:10.4169/002557010X521831.