The Foundations of Arithmetic (Bahasa Jerman: Die Grundlagen der Arithmetik) adalah sebuah buku karya Gottlob Frege, diterbitkan pada tahun 1884, yang menyelidiki landasan filosofis dari aritmetika.^[1] Frege menolak teori-teori idealis dan materialis tentang bilangan dan mengembangkan teori bilangan platonisnya sendiri. Grundlagen juga membantu memotivasi karya-karya Frege berikutnya dalam logikisme.

Buku ini juga sangat berpengaruh dalam filsafat bahasa. Michael Dummett menelusuri linguistic turn (pergeseran linguistik) hingga ke Grundlagen karya Frege dan prinsip konteksnya.^[2]

Buku ini tidak diterima dengan baik dan tidak banyak dibaca saat pertama kali diterbitkan. Namun, buku ini menarik perhatian Bertrand Russell^[3] dan Ludwig Wittgenstein,^[4] yang keduanya sangat dipengaruhi oleh filsafat Frege. Terjemahan bahasa Inggris diterbitkan oleh J. L. Austin (Oxford, 1950),^[5] dengan edisi kedua pada tahun 1960.^[6]

Gottlob Frege, Pengantar The Foundations of Arithmetic (1884/1980)

Dalam penyelidikan berikut, saya berpegang pada tiga prinsip dasar:

1. Selalu memisahkan secara tegas yang psikologis dari yang logis, yang subjektif dari yang objektif;
2. Tidak pernah menanyakan makna sebuah kata secara terpisah, tetapi hanya dalam konteks sebuah proposisi;
3. Tidak pernah melupakan perbedaan antara konsep dan objek.

Untuk menjawab pertanyaan Kantian tentang bilangan, “Bagaimana bilangan diberikan kepada kita, mengingat kita tidak memiliki gagasan atau intuisi tentangnya?” Frege menggunakan “prinsip konteks” (context principle) yang dinyatakannya di awal buku, yaitu bahwa kata-kata hanya memiliki makna dalam konteks sebuah proposisi. Dari prinsip ini, ia menemukan solusi dengan mendefinisikan “makna sebuah proposisi di mana sebuah kata bilangan muncul.” Dengan demikian, masalah ontologis dan epistemologis, yang secara tradisional diselesaikan melalui garis idealis, diselesaikan melalui pendekatan linguistik.

Frege menolak segala penjelasan matematika yang didasarkan pada psikologisme, yaitu pandangan bahwa matematika dan bilangan bersifat relatif terhadap pikiran subjektif orang yang memikirkannya. Menurut Frege, penjelasan psikologis bergantung pada hal yang subjektif, sedangkan matematika bersifat murni objektif: matematika sepenuhnya independen dari pemikiran manusia. Entitas matematika, menurut Frege, memiliki sifat objektif terlepas dari apakah manusia memikirkannya atau tidak: tidak mungkin menganggap pernyataan matematika sebagai sesuatu yang berkembang secara alami melalui sejarah dan evolusi manusia. Ia melihat perbedaan fundamental antara logika (dan perluasannya, menurut Frege, matematika) dan psikologi.^[7] Logika menjelaskan fakta-fakta yang perlu, sedangkan psikologi mempelajari proses berpikir tertentu dalam pikiran individu. Ide bersifat pribadi, sehingga idealisme tentang matematika akan menghasilkan konsep “dua-ku” dan “dua-mu” daripada sekadar bilangan dua.

Frege sangat menghargai karya Immanuel Kant, namun ia mengkritik Kant terutama karena pernyataan numerik menurut Kant dianggap sintetik-a priori, sedangkan Frege berpendapat bahwa pernyataan numerik seharusnya analitik-a priori. Kant mengklaim bahwa 7+5=12 adalah pernyataan sintetik yang tidak dapat dibuktikan: betapapun kita menganalisis gagasan 7+5, kita tidak akan menemukan gagasan 12 di dalamnya, dan kita harus memperoleh gagasan 12 melalui penerapan pada objek dalam intuisi. Kant menunjukkan bahwa hal ini menjadi lebih jelas pada bilangan yang lebih besar.^[7]

Frege, sebaliknya, berargumen bahwa asumsi Kant salah. Kant salah menganggap bahwa dalam proposisi yang memuat bilangan “besar”, kita harus menghitung titik atau semacamnya untuk menegaskan kebenarannya. Frege menunjukkan bahwa tanpa memiliki intuisi apapun terhadap bilangan-bilangan dalam persamaan:

654,768 + 436,382 = 1,091,150

kita tetap dapat menyatakan bahwa persamaan ini benar. Hal ini menjadi bukti bahwa proposisi tersebut bersifat analitik. Sementara Frege setuju bahwa geometri memang sintetik-a priori, aritmetika harus analitik.